même asymptote avec un cercle ; de sorte qu’alors le problème serait rigoureusement résoluble avec la règle et le compas.
Si les longueurs données étaient toutes trois égales entre elles, les hyperboles se réduiraient toutes trois à leurs asymptotes, et les centres des quatre cercles cherchés ne seraient autres alors que les centres des cercles inscrits et ex-inscrits au triangle proposé ; ce qui est d’ailleurs évident.
PROBLÈME II. Sur le plan d’un triangle donné décrire un cercle tel que les angles circonscrits qui auront mêmes sommets que ce triangle soient égaux à trois angles donnés ?
Solution. Comme il faut trois conditions pour déterminer un cercle sur un plan, on voit d’abord que le problème est déterminé, c’est-à-dire qu’il ne peut être résolu que par un nombre de cercles limité.
Si l’on exigeait seulement que les angles circonscrits au cercle cherché, ayant pour sommets deux des sommets du triangle donné, fussent égaux à deux angles donnés, le problème deviendrait indéterminé, c’est-à-dire qu’il pourrait être résolu par une infinité de cercles, se succédant les uns aux autres sans interruption ; les centres de tous ces cercles seraient donc sur une certaine courbe. À chaque côté du triangle répondrait une semblable courbe, et les courbes répondant aux trois côtés se couperaient aux centres des cercles qui résoudraient le problème. Voyons donc quelle est la nature de ces courbes.
Soient un des côtés du triangle donné et les deux angles adjacens ; prenons ce côté pour axe des, le sommet de l’angle pour origine et la direction de l’autre côté de cet angle pour axe des , et cherchons sur quelle courbe se trouvent situés les centres de tous les cercles tels que les angles circonscrits qui ont mêmes sommets que les deux angles et soient égaux à deux angles donnés et
Soit le centre de l’un de ces cercles ; les droites qui
