due de l’espace occupé par le corps flottant. En substituant cette valeur dans l’équation (1) elle deviendra ;
![{\displaystyle \operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x\delta x+\operatorname {d} ^{2}y\delta y+\operatorname {d} ^{2}z\delta z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=g\operatorname {S} \delta z\mathrm {D} m-\iiint \delta p.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d92116e61da0ec469f5d340c521cac1283a0b8f)
(3)
Il nous reste à mettre dans cette équation la valeur de
valeur que nous ne pouvons trouver qu’en supposant l’équilibre du fluide ; ce qui donne, comme l’on sait,
![{\displaystyle \delta p=g\Delta \delta z,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b43e6d3e1374bd815661e43bc0af5bbeb7912b)
(4)
en désignant par
la densité de ce fluide. Au moyen de cette valeur, l’équation (3) deviendra
![{\displaystyle \operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x\delta x+\operatorname {d} ^{2}y\delta y+\operatorname {d} ^{2}z\delta z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=g\operatorname {S} \delta z\mathrm {D} m-g\iiint \Delta \delta z.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7335fdcd5858a4ae1024a559771134ab4e017911)
(5)
dans laquelle il faudra substituer les valeurs de
données par les équations (2) ; mais il convient auparavant de lui faire subir encore une transformation.
Désignons par
les coordonnées du centre de gravité du corps flottant, et faisant
![{\displaystyle x=X+x',\qquad y=Y+y',\qquad z=Z+z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4bd6b0a255ca8e882f18f22bbf900bb26ede36)
nous aurons identiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {S} x\mathrm {D} m=\operatorname {S} X\mathrm {D} m+\operatorname {S} x'\mathrm {D} m=mX+\operatorname {S} x'\mathrm {D} m,\\&\operatorname {S} y\mathrm {D} m\,=\operatorname {S} Y\mathrm {D} m+\operatorname {S} y'\mathrm {D} m=mY+\operatorname {S} y'\mathrm {D} m,\\&\operatorname {S} z\mathrm {D} m\ =\operatorname {S} Z\mathrm {D} m+\operatorname {S} z'\mathrm {D} m=mZ+\operatorname {S} z'\mathrm {D} m\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb13b2aee7cba7f04cdcb1572279713a4d86a25)
mais d’un autre côté, par la propriété du centre de gravité, on doit avoir