Présentement, si l’on regarde
comme une fonction purement analitique dont l’existence a lieu dans tous les points de l’espace, on pourra faire
![{\displaystyle p_{2}-p_{1}+p_{4}-p_{3}+\ldots =\int {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6806921b07c3a8f2361b52fca9b1cc52be797e)
pourvu seulement que l’on ne prenne l’intégrale du second membre que pour les points situés dans l’intérieur du corps flottant ; par suite nous aurons
![{\displaystyle p_{1}\omega _{1}.{\frac {a_{1}-x_{1}}{r_{1}}}\delta x_{1}+p_{2}\omega _{2}.{\frac {a_{2}-x_{2}}{r_{2}}}\delta x_{2}+p_{3}\omega _{3}.{\frac {a_{3}-x_{3}}{r_{3}}}\delta x_{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6d7381abf80ab36391b01a329c1dc31fc759e7)
![{\displaystyle =-\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta x\int {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15019e2ca5047e1b62299b24752c90a1398e3d33)
Pour obtenir l’intégrale
nous n’aurons qu’à prendre la somme de toutes les expressions analogues à celle qui forme le second membre de cette équation, ce qui nous donnera
![{\displaystyle \int p\omega .{\frac {a-x}{r}}\delta x=-\iint \operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta x\int {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=-\iiint \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}\delta x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520b6dc7b727d56af0535f09bfe6ac8f6a29549)
on aura semblablement
![{\displaystyle \int p\omega .{\frac {b-y}{r}}\delta y=-\iiint \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}\delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0dc9deb18997264b23347d528a82468a885453)
![{\displaystyle \int p\omega .{\frac {c-z}{r}}\delta z=-\iiint \operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} z.{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb46f2b07831a8ce575d05f3fef30b736dcf843a)
et par suite
![{\displaystyle \int p\omega \delta r=+\iiint \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}\delta z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ccc97e369bcac00a34b3ca3e5f252533b741c0)
ou enfin
![{\displaystyle \int p\omega \delta r=+\iiint \delta p.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7287cf6487c062e9668e5f38eff848efb459519f)
l’intégrale du second membre devant être prise dans toute l’éten-