![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {S} {\frac {\operatorname {d} ^{2}z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\delta Z\mathrm {D} m=\delta Z\operatorname {S} {\frac {\operatorname {d} ^{2}z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\mathrm {D} m.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e523f947e088017c51f577ef0b75c46435be79c)
Au moyen de ces valeurs, le premier membre de l’équation (5) deviendra
![{\displaystyle m\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}X\delta X+\operatorname {d} ^{2}Y\delta Y+\operatorname {d} ^{2}Z\delta Z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)+\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x'\delta x'+\operatorname {d} ^{2}y'\delta y'+\operatorname {d} ^{2}z'\delta z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5163bb802b928d605453119cbd5f095ba171f78)
tandis que le second sera
![{\displaystyle g\operatorname {S} (\delta Z+\delta z')\mathrm {D} m-g\iiint (\delta Z+\delta z')\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35556b0d586bb9a49eeb77cfbe413d31c656ae3)
ou encore
![{\displaystyle gm\delta Z-g\delta Z\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'-g\iiint \delta z'\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c511a248d6434d1c0fd0a1b3b68cabbc84425b)
en observant que
Cette équation (5) pourra donc se mettre sous la forme
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lc}&m\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}X\delta X+\operatorname {d} ^{2}Y\delta Y+\operatorname {d} ^{2}Z\delta Z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)+\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x'\delta x'+\operatorname {d} ^{2}y'\delta y'+\operatorname {d} ^{2}z'\delta z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m\\\\&=gm\delta Z-g\delta Z\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'-g\iiint \delta z'\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'.\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da51aec76cb6b8c386ecbe99f6c51bfc8b67383)
(6)
Lorsque le corps flottant est entièrement libre, les valeurs de
sont arbitraires et indépendantes de
d’où il résulte que leurs coefficiens doivent être identiquement égaux dans les deux membres de cette équation, ce qui donne les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}Y}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} t^{2}}}=gm-g\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926296898a366e7edd929b9fd3ea517c83e18c53)
(7)
lesquelles serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité du corps flottant et réduiront l’équation (6) à la suivante :