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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{aligned}&\operatorname {S} {\frac {\operatorname {d} ^{2}z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\delta Z\mathrm {D} m=\delta Z\operatorname {S} {\frac {\operatorname {d} ^{2}z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\mathrm {D} m.\end{aligned}}$

Au moyen de ces valeurs, le premier membre de l’équation (5) deviendra

$m\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}X\delta X+\operatorname {d} ^{2}Y\delta Y+\operatorname {d} ^{2}Z\delta Z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)+\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x'\delta x'+\operatorname {d} ^{2}y'\delta y'+\operatorname {d} ^{2}z'\delta z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m$

tandis que le second sera

$g\operatorname {S} (\delta Z+\delta z')\mathrm {D} m-g\iiint (\delta Z+\delta z')\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',$

ou encore

$gm\delta Z-g\delta Z\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'-g\iiint \delta z'\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',$

en observant que $\operatorname {S} \delta z'\mathrm {D} m=0.$ Cette équation (5) pourra donc se mettre sous la forme

$\left.{\begin{array}{lc}&m\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}X\delta X+\operatorname {d} ^{2}Y\delta Y+\operatorname {d} ^{2}Z\delta Z}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)+\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x'\delta x'+\operatorname {d} ^{2}y'\delta y'+\operatorname {d} ^{2}z'\delta z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m\\\\&=gm\delta Z-g\delta Z\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'-g\iiint \delta z'\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'.\end{array}}\right\}$ (6)

Lorsque le corps flottant est entièrement libre, les valeurs de $\delta X,\delta Y,\delta Z,$ sont arbitraires et indépendantes de $\delta x',\delta y',\delta z',\,;$ d’où il résulte que leurs coefficiens doivent être identiquement égaux dans les deux membres de cette équation, ce qui donne les équations

${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}Y}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} t^{2}}}=gm-g\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',\quad$(7)

lesquelles serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité du corps flottant et réduiront l’équation (6) à la suivante :