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$\operatorname {S} \left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x'\delta x'+\operatorname {d} ^{2}y'\delta y'+\operatorname {d} ^{2}z'\delta z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=-g\iiint \delta z'\Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'.\quad$(8)

Présentement, les équations (2) nous donneront, comme cas particulier,

${\begin{aligned}&\delta X=\alpha +\nu Y-\mu Z,\\&\delta Y=\beta +\lambda Z-\nu X,\\&\delta Z=\gamma +\mu X-\lambda Y,\end{aligned}}$

lesquelles retranchées des équations (2) donnent

${\begin{aligned}&\nu (y-Y)-\mu (z-Z)=\delta x-\delta X,\\&\lambda (z-Z)-\nu (x-X)=\delta y-\delta Y,\\&\mu (x-X)-\lambda (y-Y)=\delta z-\delta Z\,;\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même,

${\begin{aligned}&\delta x'=\nu y'-\mu z',\\&\delta y'=\lambda z'-\nu x',\\&\delta z'=\mu x'-\lambda y',\end{aligned}}$

d’après les valeurs $x=X+x',\ y=Y+y',\ z=Z+z',$ posées ci-dessus.

Au moyen de ces valeurs, l’équation (8) deviendra, en mettant $\lambda ,\mu ,\nu$ hors du signe d’intégration,

$\left.{\begin{aligned}&\lambda \operatorname {S} \left({\frac {z'\operatorname {d} ^{2}y'-y'\operatorname {d} ^{2}z'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m\\\\+&\mu \operatorname {S} \left({\frac {x'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m\\\\+&\nu \operatorname {S} \left({\frac {y'\operatorname {d} ^{2}x'-x'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m\end{aligned}}\right\}={\begin{aligned}&-g\mu \iiint \Delta x'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'\\&+g\lambda \iiint \Delta y'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'\,;\end{aligned}}$