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laquelle devant avoir lieu quelles que soient les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu ,$ donnera identiquement

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {S} \left({\frac {y'\operatorname {d} ^{2}x'-x'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=0,\\\\&\operatorname {S} \left({\frac {x'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=-g\iiint \Delta x'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',\\\\&\operatorname {S} \left({\frac {y'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}\right)\mathrm {D} m=-g\iiint \Delta y'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'\,;\end{aligned}}\quad \right\}$(9)

équations qui serviront à déterminer le mouvement du corps flottant autour de son centre de gravité.

Pour déduire les conditions d’équilibre du corps flottant de celles qui précèdent, il suffit évidemment de supposer les vîtesses

${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} t}},\quad {\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} t}},\quad {\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} t}},\quad {\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}},\quad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} t}},\quad {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} t}}$

constantes et nulles ; ce qui réduit les équations (7) et (9) aux suivantes

$\left.{\begin{aligned}&m=\iiint \Delta \operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',\\\\&0=\iiint \Delta x'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z',\\\\&0=\iiint \Delta y'\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'\operatorname {d} z\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(10)

dont la première indique que, dans l’état d’équilibre, la masse de corps flottant doit être égale à celle du fluide qu’il déplace, tandis que les deux autres indiquent que les centres de gravité de ces deux masses doirent être situés dans une même verticale. Telles sont en effet les conditions nécessaires et suffisantes pour assurer l’équilibre. Nous nous occuperons plus loin de la recherche de celles qui peuvent en garantir la stabilité.