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${\begin{aligned}&x''=\nu b-\mu c,\\&y''=\lambda c-\nu a,\\&z''=\mu a-\lambda b,\end{aligned}}$

où $\lambda ,\mu ,\nu$ sont des fonctions inconnues, autres que celles des équations (2), du temps et de constantes indépendantes de $a,b,c$, qu’il s’agit de déterminer, et où nous supprimons les constantes $\alpha ,\beta ,\gamma$, attendu que $x'',y'',z''$ doivent être nuls en même temps que $a,b,c$. Nous aurons ainsi

${\begin{aligned}&x'=a+\nu b-\mu c,\\&y'=b+\lambda c-\nu a,\\&z'=c+\mu a-\lambda b,\end{aligned}}$

et par suite, en négligeant les carrés et produits de $\lambda ,\mu ,\nu ,$

${\begin{aligned}&{\frac {y'\operatorname {d} ^{2}x'-x'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}=+(a^{2}+b^{2}){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}-ca{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}}-bc{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}},\\\\&{\frac {x'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}=+(c^{2}+a^{2}){\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}}-bc{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}-ab{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}},\\\\&{\frac {y'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}=-(b^{2}+c^{2}){\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}}+ab{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}}+ca{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}},\end{aligned}}$

multipliant les deux membres de ces équations par $\mathrm {D} m,$ par rapport à la caractéristique $\operatorname {S}$ et posant, pour abréger,

${\begin{array}{ll}\operatorname {S} (b^{2}+c^{2})\mathrm {D} m=A,&\operatorname {S} bc\mathrm {D} m=G,\\\operatorname {S} (c^{2}+a^{2})\mathrm {D} m=B,&\operatorname {S} ca\mathrm {D} m=H,\\\operatorname {S} (a^{2}+b^{2})\mathrm {D} m=C,&\operatorname {S} ab\mathrm {D} m=K,\end{array}}$

on trouvera