Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/207

$\left.{\begin{aligned}&S{\frac {y'\operatorname {d} ^{2}x'-x'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}\mathrm {D} m=+C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}-H{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}}-G{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}},\\\\&S{\frac {x'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}\mathrm {D} m=+B{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}}-G{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}-K{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}},\\\\&S{\frac {y'\operatorname {d} ^{2}z'-z'\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} t^{2}}}\mathrm {D} m=-A{\frac {\operatorname {d} ^{2}\lambda }{\operatorname {d} t^{2}}}+K{\frac {\operatorname {d} ^{2}\mu }{\operatorname {d} t^{2}}}+H{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} t^{2}}}\,;\end{aligned}}\right\}$ (12)

valeurs qu’il convient de mettre à la place des premiers membres des équations (9), et c’est ce que nous ferons dès que nous aurons mis en évidence les quantités $\lambda ,\mu ,\nu ,Z$ qui doivent entrer dans leurs seconds membres.

L’équation (4), relative à l’équilibre du fluide, ne peut avoir lieu qu’autant que la densité $\Delta$ est fonction de $z$ seulement ; mais nous avons fait

$z=Z+z'=c+\mu a-\lambda b+Z\,;$

par suite $\Delta$ doit être supposé fonction de cette quantité $c+\mu a-\lambda b+Z,$ et d’autres quantités constantes, mais indépendantes de $a,b,c$. Supposant donc que l’origine des coordonnées primitives $x,y,z$ ait été prise de telle sorte que, dans l’état d’équilibre, l’on eût $Z=0$, ce qui est toujours possible, nous pourrons regarder $Z$ comme étant de même ordre que $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et par conséquent négliger son carré et les autres termes de même ordre, ce qui nous permettra de faire

$\Delta =\Delta _{0}+{\frac {\operatorname {d} \Delta _{0}}{\operatorname {d} c}}(\mu a-\lambda b+Z),$

en désignant par $\Delta _{0}$ la valeur de $\Delta$ qui aurait lieu dans le cas d’équilibre. Nous trouverons ainsi, en négligeant toujours les quantités de l’ordre des carrés et produits de $\lambda ,\mu ,\nu ,Z,$

$\Delta x'=a\Delta _{0}+\nu b\Delta _{0}-\mu \left(c\Delta _{0}-a^{2}{\frac {\operatorname {d} \Delta _{0}}{\operatorname {d} c}}\right)-\lambda ab{\frac {\operatorname {d} \Delta _{0}}{\operatorname {d} c}}+a{\frac {\operatorname {d} \Delta _{0}}{\operatorname {d} c}}+Z,$