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Mettant ces valeurs dans la première, nous trouverons, en chassant le dénominateur,

$\left.{\begin{aligned}&(mr-gL)\left\{\left[(CK+GH)r-gCR\right]^{2}\right.\\&\qquad \left.-\left[\left(AC-H^{2}\right)r-gC(mV-Q)\right]\left[\left(BC-G^{2}\right)r-gC(mV-P)\right]\right\}\\\\&+gC\left\{M^{2}\left[\left(AC-H^{2}\right)r-gC(mV-Q)\right]-2MN\left[(CK+GH)r-gCR\right]\right.\\&\qquad \left.+N^{2}\left[\left(BC-G^{2}\right)r-gC(mV-P)\right]\right\}=0\,;\end{aligned}}\right\}$(17)

équation du troisième degré qui fera connaître toutes les valeurs de $r$, d’où on conclura ensuite celles de $p$ et $q$ au moyen des formules (16) ; de sorte qu’en général il y aura trois systèmes de valeurs pour les constantes $p,q,r$, correspondant aux trois racines de l’équation (17).

Maintenant en intégrant l’équation (15) on trouve

$Z=T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},$

$T$ et $U$ étant deux constantes ; il en résulte

${\begin{aligned}&\lambda =p\left(T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},\right)\\&\mu =q\left(T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},\right)\,;\end{aligned}}$

cette solution n’est que particulière, mais en même temps elle est triple, puisqu’il y a trois systèmes de valeurs de $p,q,r\,;$ donc, d’après la théorie de l’intégration des équations linéaires à coefficiens constans, on aura l’intégrale complète en prenant la somme des trois intégrales particulières qui répondent à ces systèmes ; de sorte qu’en désignant par $r',r'',r'''$ les trois racines de l’équation (17), et par $p',p'',p''',q',q'',q'''$ les valeurs de $p$ et $q$ qui leur correspondent respectivement, on aura

$Z=\left\{{\begin{aligned}&T'\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+U'\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\\+&T''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}+U''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}\\+&T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\end{aligned}}\right\}\quad$ (18)

et ensuite