Mettant ces valeurs dans la première, nous trouverons, en chassant le dénominateur,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(mr-gL)\left\{\left[(CK+GH)r-gCR\right]^{2}\right.\\&\qquad \left.-\left[\left(AC-H^{2}\right)r-gC(mV-Q)\right]\left[\left(BC-G^{2}\right)r-gC(mV-P)\right]\right\}\\\\&+gC\left\{M^{2}\left[\left(AC-H^{2}\right)r-gC(mV-Q)\right]-2MN\left[(CK+GH)r-gCR\right]\right.\\&\qquad \left.+N^{2}\left[\left(BC-G^{2}\right)r-gC(mV-P)\right]\right\}=0\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cd74748905d95c51b0eaa9a16e9846427ea604)
(17)
équation du troisième degré qui fera connaître toutes les valeurs de
, d’où on conclura ensuite celles de
et
au moyen des formules (16) ; de sorte qu’en général il y aura trois systèmes de valeurs pour les constantes
, correspondant aux trois racines de l’équation (17).
Maintenant en intégrant l’équation (15) on trouve
![{\displaystyle Z=T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949589e0b9ee07fe9816f2b5692a92b9119a7d82)
et
étant deux constantes ; il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =p\left(T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},\right)\\&\mu =q\left(T\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r}}+U\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r}},\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8b8703b03cbb0c9ea95119aa9debd738a5d811)
cette solution n’est que particulière, mais en même temps elle est triple, puisqu’il y a trois systèmes de valeurs de
donc, d’après la théorie de l’intégration des équations linéaires à coefficiens constans, on aura l’intégrale complète en prenant la somme des trois intégrales particulières qui répondent à ces systèmes ; de sorte qu’en désignant par
les trois racines de l’équation (17), et par
les valeurs de
et
qui leur correspondent respectivement, on aura
![{\displaystyle Z=\left\{{\begin{aligned}&T'\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+U'\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\\+&T''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}+U''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}\\+&T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f382011337b70744d7b953a0af285361ba232846)
(18)
et ensuite