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$\mu =q'\left(T_{2}+tU_{1}\right)\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+q'\left(U_{2}+tT_{1}\right)\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}$

$+q'''T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+q'''U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}+q'.{\frac {it^{2}}{1.2}}\Pi \,;$

$\Lambda ,\Gamma ,\Pi$ désignant, par abréviation, tout ce que nous n’avons pas écrit. Or, lorsqu’on aura $r'=r''$ ou $i=0,$ ces équations se réduiront simplement à

$\left.{\begin{aligned}&Z=\left(T_{2}+tU_{1}\right)\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+\left(U_{2}+tT_{1}\right)\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\\&\qquad \qquad +T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}},\\\\&\lambda =p'\left(T_{2}+tU_{1}\right)\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+p'\left(U_{2}+tT_{1}\right)\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\\&\qquad \qquad +p'''\left(T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\right),\\\\&\mu =q'\left(T_{2}+tU_{1}\right)\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'}}+q'\left(U_{2}+tT_{1}\right)\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'}}\\&\qquad \qquad +q'''\left(T'''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r'''}}+U'''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r'''}}\right).\end{aligned}}\right\}$ (21)

Il faudrait agir à peu près de même si les trois racines étaient égales entre elles ou encore si l’une d’elles était nulle. Soit, par exemple, dans ce dernier cas, $r''$ la racine nulle ; alors le terme $T''\operatorname {Cos} .t{\sqrt {r''}}$ se réduira à $T''$ et le terme $U''\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}$ que l’on peut mettre sous la forme $U''{\sqrt {r''}}.{\frac {\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}}{\sqrt {r''}}},$ ou encore sous celle-ci $U_{1}.{\frac {\operatorname {Sin} .t{\sqrt {r''}}}{\sqrt {r''}}},$ devra être remplacé par la limite de cette expression qui est égale à $tU_{1}.$

Telles sont les modiûcations que doivent subir les formules (18) et (19) dans les cas particuliers, pour qu’elles puissent donner la solution complète du problème.

Nous pouvons maintenant connaître quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour assurer la stabilité de l’équilibre du corps flottant.

1.^o Si les trois racines de l’équation (17) sont réelles, inégales,