Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/232

$g{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad$(3)

pour $z=0$. Si l’on suppose que le fond du vase soit un plan horizontal, et si l’on désigne par $h$ la profondeur de l’eau, on aura encore

${\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} z}},\qquad$(4)

pour $z=h\,;$ ce qui exprime que les mêmes molécules du fluide restent constamment en contact avec le fond du vase.

(2) L’eau étant contenue dans un cylindre vertical, il conviendra de transformer les coordonnées horizontales $x$ et $y$, en deux autres plus appropriées à la question. Plaçons leur origine sur l’axe de ce cylindre ; soit $r$ la perpendiculaire abaissée du point qui leur correspond sur cet axe, et $\psi$ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des $x,y\,;$ on aura

$x=r\operatorname {Cos} .\psi ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\psi ,$

et l’équation (1) deviendra

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} \psi ^{2}}}=0.\qquad$(5)

La vîtesse, suivant le prolongement de $r$, sera exprimée par ${\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}\,;$ si donc on appelle $a$ le rayon du cylindre, il faudra qu’on ait

${\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}=0,\qquad$(6)