![{\displaystyle g{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} t^{2}}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f01b3ea2ed7d26da9bb24ec1f38a1a71f99c03)
(3)
pour
. Si l’on suppose que le fond du vase soit un plan horizontal, et si l’on désigne par
la profondeur de l’eau, on aura encore
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} z}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cba7dfea49fd6ca05a514a55e0a3a2adda6b5ce)
(4)
pour
ce qui exprime que les mêmes molécules du fluide restent constamment en contact avec le fond du vase.
(2) L’eau étant contenue dans un cylindre vertical, il conviendra de transformer les coordonnées horizontales
et
, en deux autres plus appropriées à la question. Plaçons leur origine sur l’axe de ce cylindre ; soit
la perpendiculaire abaissée du point qui leur correspond sur cet axe, et
l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des
on aura
![{\displaystyle x=r\operatorname {Cos} .\psi ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dee0a67153fcddc500484cdf96863746bb9345e)
et l’équation (1) deviendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} \psi ^{2}}}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a362bb04850f6ade4010af15f8816f16a894de63)
(5)
La vîtesse, suivant le prolongement de
, sera exprimée par
si donc on appelle
le rayon du cylindre, il faudra qu’on ait
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0942b4f70c1b7e9ed08063830d32d426dc0c7cd5)
(6)