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HYDRODYNAMIQUE.

Mémoire sur les petites oscillations de l’eau
contenue dans un cylindre ;

Par M. Poisson.

(Lu à l’Académie des sciences, le 27 octobre 1828).

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(1) Soient $x,y,z$, les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque du fluide, au bout du temps $t,$ compté de l’origine du mouvement. Les vîtesses du même point, suivant les axes des coordonnées, seront exprimées, comme on sait, par les différences partielles, relatives à $x,y,z$, d’une fonction de ces trois variables et de $t\,;$ et, si l’on représente cette fonction par $\varphi ,$ il faudra qu’on ait

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} y^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} z^{2}}}=0.\qquad$(1)

Prenons pour le plan des $x,y$, celui du niveau du fluide dans l’état d’équilibre, l’axe des $z$ étant vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur. Représentons cette force par $g.$ Au bout du temps $t,$ soit $z'$ l’ordonnée d’un point quelconque de la surface du fluide ; nous aurons

$gz'={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}}\,;\qquad$(2)

équation dans laquelle on fera $z=0$. Afin que les mêmes points restent constamment à cette surface, il faudra qu’on ait aussi