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En intégrant par parties, on a

$\int \left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {d} z=\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} z}}$

$+\left(e^{m'(h-z)}-e^{-m'(h-z)}\right)m'\nu +m'^{2}\int \left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right)\nu \operatorname {d} z\,;$

à la limite $z=h,$ les termes compris hors du signe $\int$ disparaissent en vertu de la seconde équation (10) ; à l’autre limite $z=0,$ il se réduisent à

${\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right),$

en ayant égard à la troisième équation (10), appelant $k'$ ce que devient $k$ lorsqu’on change $m$ en $m',$ et désignant par $\nu '$ la valeur de $\nu$ qui répond à $z=0.$ Nous aurons donc

$\int _{0}^{h}\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {d} z$

$=m'^{2}u-{\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right),$

et, par conséquent,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}-{\frac {n^{2}u}{r}}+m'^{2}u={\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right)\,;$

équations que nous pourrons écrire de cette autre manière :

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {u{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}u{\sqrt {r}}\\\\=&{\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '{\sqrt {r}}\right)\end{aligned}}\quad$(15)