En intégrant par parties, on a
![{\displaystyle \int \left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {d} z=\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221d23bfa1cdc9d058888d99e74a01e9587435a4)
![{\displaystyle +\left(e^{m'(h-z)}-e^{-m'(h-z)}\right)m'\nu +m'^{2}\int \left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right)\nu \operatorname {d} z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f73c650b161cab1f892aa09db6bf44ca7dfe957)
à la limite
les termes compris hors du signe
disparaissent en vertu de la seconde équation (10) ; à l’autre limite
il se réduisent à
![{\displaystyle {\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4924465e15e0ba13802f1bfd043f05015e138b27)
en ayant égard à la troisième équation (10), appelant
ce que devient
lorsqu’on change
en
et désignant par
la valeur de
qui répond à
Nous aurons donc
![{\displaystyle \int _{0}^{h}\left(e^{m'(h-z)}+e^{-m'(h-z)}\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c3eb00705a60ef9e78cc70e9009f89f0671444)
![{\displaystyle =m'^{2}u-{\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ac6ee6128d2066fa0b2a96efa634a37d38e806)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}-{\frac {n^{2}u}{r}}+m'^{2}u={\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1412d4d3b9f98121175a8b7895dcd0b7cf63a6ec)
équations que nous pourrons écrire de cette autre manière :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {u{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}u{\sqrt {r}}\\\\=&{\frac {1}{g}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu '{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\nu '{\sqrt {r}}\right)\end{aligned}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6869552f64e7f63dbcd77720a3980c29b5e4e9b)
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