Je désigne par
ce que devient
quand on y change
en
Au moyen de l’intégration par parties, on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r}}R'{\sqrt {r}}\operatorname {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8089633563fdd04647cb12f3827be21108ad9d21)
![{\displaystyle ={\frac {\operatorname {d} u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r}}R'{\sqrt {r}}-u{\sqrt {r}}{\frac {\operatorname {d} R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} t}}+\int u{\sqrt {r}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}\operatorname {d} r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584a5240161a059909cf9b3aa0e77316f8a83cdf)
Les termes compris sous le signe
s’évanouissent avec
ils s’évanouissent également pour
à cause que l’on a, à celle seconde limite,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} R'}{\operatorname {d} r}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd2bbad7289f1d74649ba824f390fd5fa96ca77)
on aura donc
![{\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}R'{\sqrt {r}}\operatorname {d} r=\int _{0}^{a}{\frac {\operatorname {d} ^{2}R{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}u{\sqrt {r}}\operatorname {d} r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ed14a97c5ec20324c2aba92e7ec2697fc41aad)
par conséquent, si l’on multiplie l’équation (15) par
et qu’on intègre ses deux membres depuis
jusqu’à
il en résultera
![{\displaystyle \int _{0}^{a}\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}R{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {R'{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}R'{\sqrt {r}}\right]u{\sqrt {r}}\operatorname {d} r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea1335d90d416b5cd43cf90a1b5fcf42cc7ea1d)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left(e^{m'h}+e^{-m'h}\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}.\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t^{2}}}+k'^{2}\int _{0}^{a}\nu 'R'r\operatorname {d} r\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c8bff48efbab0a2f3ec545a4bab5907deedd21)
Mais, d’après l’équation (11), on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}R'{\sqrt {r}}}{\operatorname {d} r^{2}}}-\left(n^{2}-{\frac {1}{4}}\right){\frac {R'{\sqrt {r}}}{r^{2}}}+m'^{2}R'{\sqrt {r}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14be2cced4120d218f66748e9fd40735863f8169)