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pression de \varphi sont périodiques, ce qui devait être, en effet, puisque le fluide a été écarté d’un état d’équilibre stable. Mais, pour que tous les points reviennent ensemble au même état, et qu’il exécute des oscillations isochrones, il faudra, à cause que les valeurs de $k$ sont incommensurables, que tous les termes de la double somme qui donne la valeur de $\varphi ,$ se réduisent à un seul, et que tous les autres soient nuls, en vertu de l’état initial du fluide.

(7) Si le fluide n’a reçu, à l’origine, aucune percussion, et que les molécules soient parties de l’état de repos, la valeur initiale de $\varphi$ sera nulle, et il en résultera $\operatorname {F} r=0,\operatorname {F} 'r=0$ et $P=0$. Supposons de plus qu’à l’origine du mouvement, on ait fait prendre à l’eau la forme d’un solide de révolution, dont l’axe soit celui même du vase qui la contient ; il est évident qu’elle conservera constamment une semblable forme, et que la fonction $\varphi$ sera indépendante de l’angle $\psi .$ En vertu de l’équation (8), la quantité, sera nulle pour toutes les valeurs de $n$, excepté pour $n=0\,;$ les deux quantités $\nu$ et $\varphi$ ne différeront pas l’une de l’autre ; pour $n=0,$ on aura

$R=\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .(mr\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {d} \omega \,;\qquad$(21)

et, si l’on supprime le coefficient $P$ dans la formule (14), elle deviendra

$\varphi =\Sigma Q\left(e^{m(h-z)}+e^{-m(h-z)}\right)\left(\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .(mr\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {d} \omega \right)\operatorname {Sin} .kt.$

En y substituant pour $Q$ sa valeur relative à $n=0,$ et donnée par la seconde équation (17), on aura

$\varphi =g\Sigma {\frac {\int _{0}^{a}Rr\operatorname {f} r.\operatorname {d} r}{\int _{0}^{a}R^{z}r\operatorname {d} r}}\left(\int _{0}^{\varpi }\operatorname {Cos} .(mr\operatorname {Cos} .\omega )\operatorname {d} \omega \right)Z{\frac {\operatorname {Sin} .kt}{k}},\quad$(22)

où l’on a fait, pour abréger,