le sinus de l’angle du demi-secteur qui est
pourra aussi être exprimé par
l’aire de ce demi-secteur sera donc
Pour en conclure celle du segment il faudra en retrancher l’aire d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont
et
; c’est-à-dire, qu’il faudra en retrancher
l’aire du demi-secteur circulaire sera donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}a\left\{a\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)-{\frac {(a-x)y}{b}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b867a0a05e5af9019c70438b44a248dd614c7374)
en la multipliant par le rapport
on en conclura pour l’aire du demi-secteur elliptique.
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)-{\frac {1}{2}}(a-x)y\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08537fae49911524e699765331de8b2e46575060)
(1)
si l’on veut compter les abscisses du centre, on pourra écrire
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{y}}\right)-{\frac {1}{2}}xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3c6c801c0efc0462a3c1f2437bf0303cb447fd)
On sait que
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{b}}\right)={\frac {y}{b}}+{\frac {1.y^{3}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {1.2y^{5}}{2.4.5b^{5}}}+{\frac {1.3.5y^{7}}{2.4.6.7b^{7}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc372b712a09c72c5178ea282be08cf8c9b2f2f)
en substituant cette valeur dans la formule (1) et remplaçant
par
étant le paramètre, il viendra, en réduisant, pour l’expression du demi-segment elliptique