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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {xy}{2}}+{\frac {1}{2.3}}.{\frac {y^{3}}{p}}+2.{\frac {1.3}{2.4.5}}.{\frac {y^{6}}{p^{2}a}}+4.{\frac {1.3.5}{2.4.6.7}}.{\frac {y^{7}}{p^{3}a^{2}}}+\ldots$

Si l’on suppose $a$ infini, on passe à la parabole, et cette expression se réduit à

${\frac {xy}{2}}+{\frac {y^{3}}{6p}}={\frac {xy}{2}}+{\frac {pxy}{6p}}={\frac {xy}{2}}+{\frac {xy}{6}}={\frac {2}{3}}xy\,;$

c’est-à-dire, que l’aire du demi-segment parabolique est les deux tiers de celle du rectangle des deux coordonnées.

On sait que

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{y}}\right)={\frac {y}{x}}-{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots$

substituant dans la formule (2), nous aurons pour l’expression demi-segment elliptique

${\frac {1}{2}}ab\left({\frac {y}{x}}-{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots \right)-{\frac {1}{2}}xy.$

Si, dans cette expression, on change $y$ en $y{\sqrt {-1}},$ on passera au demi-segment hyperbolique pour lequel on trouvera ainsi

${\frac {1}{2}}{\sqrt {-1}}\left\{\left({\frac {y}{x}}+{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots \right)-xy\right\}$

ou bien