![{\displaystyle {\frac {xy}{2}}+{\frac {1}{2.3}}.{\frac {y^{3}}{p}}+2.{\frac {1.3}{2.4.5}}.{\frac {y^{6}}{p^{2}a}}+4.{\frac {1.3.5}{2.4.6.7}}.{\frac {y^{7}}{p^{3}a^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb82e3086bf68f0667641de006f9da5bb159d9f5)
Si l’on suppose
infini, on passe à la parabole, et cette expression se réduit à
![{\displaystyle {\frac {xy}{2}}+{\frac {y^{3}}{6p}}={\frac {xy}{2}}+{\frac {pxy}{6p}}={\frac {xy}{2}}+{\frac {xy}{6}}={\frac {2}{3}}xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc80f9c566a1fa699bb4340468711ea779765f0)
c’est-à-dire, que l’aire du demi-segment parabolique est les deux tiers de celle du rectangle des deux coordonnées.
On sait que
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {x}{y}}\right)={\frac {y}{x}}-{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5d5be23235c0254bde02cae57a15540c425205)
substituant dans la formule (2), nous aurons pour l’expression demi-segment elliptique
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\left({\frac {y}{x}}-{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots \right)-{\frac {1}{2}}xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d4192da03607c318bcf0d78f979a0b7005d5e3)
Si, dans cette expression, on change
en
on passera au demi-segment hyperbolique pour lequel on trouvera ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {-1}}\left\{\left({\frac {y}{x}}+{\frac {1}{3}}{\frac {y^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y^{5}}{x^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y^{7}}{x^{7}}}+\ldots \right)-xy\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950d40a746f0a2209e628c37eb7421aff25db3d8)
ou bien