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II. Soient $A,B,C$ les demi-axes d’une surface du second ordre, et $a,b,c$ trois demi diamètres d’une telle surface dont chacun soit perpendiculaire aux deux autres. Si l’on prend pour directrice une sphère de même centre, dont $r$ soit le rayon, les demi-axes de la polaire réciproque de la surface proposée seront ${\frac {r^{2}}{A}},\ {\frac {r^{2}}{B}},\ {\frac {r^{2}}{C}}\,;$ les plans tangens polaires des extrémités des demi-diamètres $a,b,c$ seront rectangulaires, et distans du centre des quantités ${\frac {r^{2}}{a}},\ {\frac {r^{2}}{b}},\ {\frac {r^{2}}{c}}\,;$ le carré de la distance de leur point d’intersection au centre sera donc ${\frac {r^{4}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{b^{2}}}+{\frac {r^{4}}{c^{2}}}.$ Mais on sait d’ailleurs que ce point, sommet d’un angle trièdre tri-rectangle, circonscrit à la surface polaire réciproque de la proposée, est sur une sphère dont le carré du rayon est ${\frac {r^{4}}{A^{2}}}+{\frac {r^{4}}{B^{2}}}+{\frac {r^{4}}{C^{2}}}\,;$ on doit donc avoir

${\frac {r^{4}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{b^{2}}}+{\frac {r^{4}}{c^{2}}}={\frac {r^{4}}{A^{2}}}+{\frac {r^{4}}{B^{2}}}+{\frac {r^{4}}{C^{2}}}\,;$

c’est-à-dire simplement

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {1}{A^{2}}}+{\frac {1}{B^{2}}}+{\frac {1}{C^{2}}}\,;$

ce qui est précisément le second des deux théorèmes.