II. Soient
les demi-axes d’une surface du second ordre, et
trois demi diamètres d’une telle surface dont chacun soit perpendiculaire aux deux autres. Si l’on prend pour directrice une sphère de même centre, dont
soit le rayon, les demi-axes de la polaire réciproque de la surface proposée seront
les plans tangens polaires des extrémités des demi-diamètres
seront rectangulaires, et distans du centre des quantités
le carré de la distance de leur point d’intersection au centre sera donc
Mais on sait d’ailleurs que ce point, sommet d’un angle trièdre tri-rectangle, circonscrit à la surface polaire réciproque de la proposée, est sur une sphère dont le carré du rayon est
on doit donc avoir
![{\displaystyle {\frac {r^{4}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{b^{2}}}+{\frac {r^{4}}{c^{2}}}={\frac {r^{4}}{A^{2}}}+{\frac {r^{4}}{B^{2}}}+{\frac {r^{4}}{C^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e6e7c986e53c2a8182fad0595425dd0b4358b1)
c’est-à-dire simplement
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {1}{A^{2}}}+{\frac {1}{B^{2}}}+{\frac {1}{C^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963f673ca945ae44e4b9801bf9de45e830394866)
ce qui est précisément le second des deux théorèmes.