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rés des inverses de trois diamètres dont chacun est perpendiculaire aux deux autres, est également une quantité constante.

La livraison des Annales qui renferme la démonstration de ces deux théorèmes n’avait point encore paru lorsque j’adressai à M. Quetelet un mémoire publié dans la Correspondance de Bruxelles (tom. iv, 4.^me livraison, pag. 216), dans lequel ces deux théorèmes se trouvaient aussi incidemment démontrés. J’ai reconnu postérieurement qu’ils pouvaient être démontrés sans calcul, ainsi qu’on va le voir.

I. Soient $A,B$ les deux demi-axes d’une conique, et $a,b$ deux demi-diamètres rectangulaires quelconques. Si l’on prend pour directrice un cercle de même centre, dont $r$ soit le rayon rles demi-axes de la polaire réciproque de la conique seront ${\frac {r^{2}}{A}},\ {\frac {r^{2}}{B}}\,;$ les tangentes, polaires des extrémités des demi-diamètres $a,b$ seront rectangulaires et distantes du centre des quantités ${\frac {r^{2}}{a}},\ {\frac {r^{2}}{b}}\,;$ le carré de la distance de leur point d’intersection au centre sera donc ${\frac {r^{4}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{b^{2}}}.$ Mais on sait d’ailleurs que ce point, sommet d’un angle droit circonscrit à la courbe polaire réciproque de la proposée, est sur une circonférence dont le carré du rayon est ${\frac {r^{4}}{A^{2}}}+{\frac {r^{4}}{B^{2}}}\,;$ on doit donc avoir

${\frac {r^{4}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{b^{2}}}={\frac {r^{4}}{A^{2}}}+{\frac {r^{4}}{B^{2}}}\,;$

c’est-à-dire simplement

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{A^{2}}}+{\frac {1}{B^{2}}}\,;$

ce qui est précisément le premier des deux théorèmes.