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c’est-à-dire que le rapport entre les rayons de ces deux cercles est indépendant de leur grandeur. De là résulte ce théorème :

Si l’on inscrit à un même angle une suite de cercles se touchant consécutivement, les rayons de ces cercles, et par suite leurs circonférences et leurs surfaces, formeront une progression par quotiens.

Concevons que l’on fasse tourner la moitié de l’angle donné $2\alpha ,$ autour de la droite qui le divise en detix parties égales ; cette moitié engendrera un cône de révolution dont l’angle générateur sera $\alpha \,;$ et les demi-cercles engendreront des sphères inscrites à ce cône, lesquelles se toucheront consécutivement ; on a donc cet autre théorème :

Si l’on inscrit à un cône droit une suite de sphères qui se touchent consécutivement ; les rayons de ces sphères, et par suite les circonférences et les surfaces de leurs grands cercles, leurs surfaces et leurs volumes formeront une progression par différences.

À un angle trièdre donné soit inscrite une suite de sphères qui se touchent consécutivement ; ces sphères seront aussi inscrites à la surface conique inscrite à cet angle trièdre ; on a donc ce troisième théorème qui est précisément celui qu’il s’agissait d’établir :

Si, à un angle trièdre donné, on inscrit une suite de sphères qui se touchent consécutivement, les rayons de ces sphères, et par

c’est sous cette forme que ${\frac {r}{r'}}$ a été donnée par M. L. P. E. R., qui a aussi résolu le problème.

On pourrait encore écrire ${\frac {r}{r'}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\varpi +\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\varpi -\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {\operatorname {Tang} .\left({\frac {1}{4}}\varpi +{\frac {1}{2}}\alpha \right)}{\operatorname {Tang} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -{\frac {1}{2}}\alpha \right)}},$ formule qui rentre dans la première, en observant qu’en général $\operatorname {Tang} .\left({\frac {1}{4}}\varpi +x\right).$$\operatorname {Tang} .\left({\frac {1}{4}}\varpi -x\right)=1\,;$ mais qui a l’inconvénient d’exiger l’emploi de deux logarithmes.

J. D. G.