angles de tout triangle rectiligne, une relation indépendante des longueurs de ses côtés ; ce qui revient encore à dire que, si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre triangle, le troisième angle sera égal de part et d’autre. On voit enfin qu’un triangle rectiligne rfest point déterminé par ses seuls angles, puisque donner les trois angles revient à n’en donner que deux seulement.
Deux des trois équations (1) suffisent pour déterminer les deux rapports cela revient à dire que, lorsque deux des angles d’un triangle rectiligne sont donnés, les rapports entre les trois côtés de ce triangle, pris tour à tour, deux à deux, sont complètement déterminés ; ce qui signifie, en d’autres termes, que deux triangles rectilignes qui ont deux angles égaux, chacun à chacun, ont leurs côtés homologues proportionnels.
Conservons les mêmes notations, mais supposons qu’il soit question d’un triangle sphérique, alors le triangle ne sera pas déterminé par ses trois côtés ; car si, sur deux sphères inégales, on construit deux triangles sphériques dont les côtés saient égaux chacun à chacun, ces triangles ne seront point égaux. Afin donc qu’un triangle sphérique soit complètement déterminé, il ne suffit pas de donner les longueurs de ses trois côtés, il faut donner en outre la longueur du rayon de la sphère à laquelle il appartient, longueur que nous supposerons d’ailleurs rapportée à la même unité linéaire.
Chacun des trois angles du triangle devra donc être une fonction déterminée de ces quatre longueurs ; de plus, cette fonction devra être de telle forme qu’elle demeure la même si, sans changer l’unité de mesure des angles, ou fait varier l’unité de mesure des longueurs ; ce qui exige évidemment que ces fonctions ne renferment que les rapports entre ces quatre longueurs prises deux à deux, ou, ce qui revient au même, les rapports de l’une aux trois autres ; on devra donc avoir
