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${\frac {2\varpi r^{3}(1+\operatorname {Sin} .\alpha )^{3}}{3(3+\operatorname {Sin} .\alpha )\operatorname {Sin} .\alpha }}.$

On sait (Annales, tom. xv, pag. 298) que, si $a,b,c$ sont les trois angles plans d’un angle trièdre, et que $\alpha$ soit l’angle générateur du cône inscrit, en posant, pour abréger,

$a+b+c=2s,$

$p^{2}=\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c),$

on a

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {p}{\operatorname {Sin} .s}},$

d’où

$\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+\operatorname {Sin} .^{2}s}}},$

et

${\frac {1+\operatorname {Sin} .\alpha }{1-\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {{\sqrt {p^{2}+\operatorname {Sin} .^{2}s}}+p}{{\sqrt {p^{2}+\operatorname {Sin} .^{2}s}}-p}}={\frac {\left({\sqrt {p^{2}+\operatorname {Sin} .^{2}s}}+p\right)^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}s}}\,;$

et telle sera conséquemment la raison de la progression par quotiens que formeront les rayons et les circonférences des grands cercles des sphères inscrites ; les surfaces de ces grands cercles et celles des sphères formeront une progression dont la raison sera le carré de cette quantité, et les volumes de ces sphères formeront une progression dont la raison en sera le cube^[1].

1. C’est précisément à ce résultat que parvient M. Steiner ; et qui nous a aussi été adressé postérieurement par M. Bobillier et par M. Martinelli, cadet au corps royal des pionniers, à Modène.
   J. D. G.