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En posant, pour abréger,

$\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\right)=P,\quad \left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\right)=Q,\quad \left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}\right)=R,\quad$(2)

on aura

$\operatorname {d} u=P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y+R\operatorname {d} z.\qquad$(3)

Or, poser $\operatorname {d} u=0$ c’est exprimer que la variation de densité est nulle ou que la densité est constante ; donc, l’équation résultante

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y+R\operatorname {d} z=0,\qquad$(4)

est l’équation différentielle des couches de densité constante ; c’est-à-dire que c’est l’équation différentielle de la couche dans toute l’étendue de laquelle la densité $u$ est la même qu’au point $(x,y,z).$

En désignant donc par $X,Y,Z$ les coordonnées courantes dans l’espace, les équations du plan tangent et de la normale de cette surface, en ce point $(x,y,z),$ seront

$P(X-x)+Q(Y-y)+R(Z-z)=0,\qquad$(5)

${\frac {X-x}{P}}={\frac {Y-y}{Q}}={\frac {Z-z}{R}}.\qquad (6)$

Présentement, en considérant $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ choisi pour variable indépendante, l’équation du plan osculateur de la trajectoire, au point $(x,y,z)$ sera, comme l’on sait,

sur laquelle le Bulletin universel (juillet 1828, pag. 10) a rappelé de nouveau l’attention des géomètres, à l’occasion d’un très-curieux mémoire de M. Gauss. On classerait alors les milieux comme on classe aujourd’hui les lignes et les surfaces courbes.