ce qui ne peut arriver lorsqu’il n’y a point de vîtesse initiale ; qu’autant que le tube part de la direction verticale ; la valeur de
se réduisant alors simplement à
![{\displaystyle r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)+{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\left(\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf32d93afbb564102f3aa42e7a8c15ad43489d4a)
(5)
et étant conséquemment périodique, elle se trouverait ainsi comprise entre les deux limites
![{\displaystyle r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)\pm {\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}=R\pm {\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1\mp \operatorname {Sin} .\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b30e50f71a20e409847717df5c5dbec6be0f3d1)
d’où l’on voit que le centre de la sphère mobile demeurerait alors constamment d’un même côté du centre du mouvement, si
étant positif on avait
![{\displaystyle R>{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1+\operatorname {Sin} .\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2e6e70a308648a3a90de11b64a3de59bb55a45)
ou bien si,
étant négatif, on avait
![{\displaystyle R>{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1-\operatorname {Sin} .\alpha ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0b41fb9368ae70e71c213a64935f5a9dd94a44)
Si, dans la même hypothèse, on voulait connaître les époques où le centre de la sphère mobile passera par le centre du mouvement, il ne s’agirait que de poser
dans l’équation (5), et de la résoudre ensuite par rapport à
ce qui donnerait
![{\displaystyle t={\frac {T}{2\varpi }}\left\{\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Sin} .=\left(\operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}.{\frac {R}{g}}\right)\right]-\alpha \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a198d1986f5843f8bfaf8d05edbb2313d3ce58)
mais encore faudrait-il, pour que ces époques fussent réelles, que
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}.{\frac {R}{g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c038c3b049e2cd1af400cde827ade308808635)