Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/296

ce qui ne peut arriver lorsqu’il n’y a point de vîtesse initiale ; qu’autant que le tube part de la direction verticale ; la valeur de $r$ se réduisant alors simplement à

$r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)+{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\left(\alpha +2\varpi {\frac {t}{T}}\right),$ (5)

et étant conséquemment périodique, elle se trouverait ainsi comprise entre les deux limites

$r=\left(R-{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}\operatorname {Sin} .\alpha \right)\pm {\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}=R\pm {\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1\mp \operatorname {Sin} .\alpha )\,;$

d’où l’on voit que le centre de la sphère mobile demeurerait alors constamment d’un même côté du centre du mouvement, si $R$ étant positif on avait

$R>{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1+\operatorname {Sin} .\alpha ),$

ou bien si, $R$ étant négatif, on avait

$R>{\frac {gT^{2}}{4\varpi ^{2}}}(1-\operatorname {Sin} .\alpha ).$

Si, dans la même hypothèse, on voulait connaître les époques où le centre de la sphère mobile passera par le centre du mouvement, il ne s’agirait que de poser $r=0$ dans l’équation (5), et de la résoudre ensuite par rapport à $t\,;$ ce qui donnerait

$t={\frac {T}{2\varpi }}\left\{\operatorname {Arc} .\left[\operatorname {Sin} .=\left(\operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}.{\frac {R}{g}}\right)\right]-\alpha \right\}\,;$

mais encore faudrait-il, pour que ces époques fussent réelles, que

$\operatorname {Sin} .\alpha -{\frac {4\varpi ^{2}}{T^{2}}}.{\frac {R}{g}},$