![{\displaystyle {\cfrac {1}{x}}=a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{d+\ldots }}}}}}}}}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7e0d014e14247beff9a88199b21887c957187c)
l’autre valeur de
serait donc, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\cfrac {1}{x}}=-{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32907dbbd703b4fa0a33d718b09dcbf342225f87)
d’où on conclurait, pour l’autre valeur de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle x=-\left(d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+\ldots }}}}}}}}}}}}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3f55cf338e871161b0a425b7087f38dd6a68ee)
ou
![{\displaystyle x=-{\cfrac {1}{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe1786eeb2aad9c225f0ab304af37de8fe9c825)
ce qui rentre exactement dans notre théorème.
Soit
une fraction continue, immédiatement périodique quelconque, et soit
la fraction continue qu’on en déduit en renversant la période ; on voit que, si l’une des racines d’une équa-