Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/326

prenant alors la somme de leurs carrés, ayant égard aux relations (10), il viendra simplement

$x^{2}+y^{2}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}.\qquad$(11)

Supposons présentement que les deux ellipses aient les mêmes foyers, et conséquemment la même excentricité, on aura ainsi

${\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}={\frac {1}{A'}}-{\frac {1}{B'}},\quad$ou bien$\quad {\frac {1}{A}}-{\frac {1}{A'}}={\frac {1}{B}}-{\frac {1}{B'}}\,;$ (12)

et, par suite,

${\frac {a'^{2}}{A'}}+{\frac {b'^{2}}{B'}}={\frac {a'^{2}}{A}}+{\frac {b'^{2}}{B}}+\left({\frac {1}{A'}}-{\frac {1}{A}}\right)a'^{2}+\left({\frac {1}{B'}}-{\frac {1}{B}}\right)b'^{2}$

$={\frac {a'^{2}}{A}}+{\frac {b'^{2}}{B}}+\left({\frac {1}{B'}}-{\frac {1}{B}}\right)r'^{2}\,;$

c’est-à-dire (6)

${\frac {a'^{2}}{A^{2}}}+{\frac {b'^{2}}{B^{2}}}=1+\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{B'}}\right)r'^{2}\,;$

ou bien encore,

${\frac {1}{A}}\left({\frac {a'}{r'}}\right)^{2}+{\frac {1}{B}}\left({\frac {b'}{r'}}\right)^{2}={\frac {1}{r'^{2}}}+\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{B'}}\right)\,;$

mais on a aussi (6)

${\frac {1}{A}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}+{\frac {1}{B}}\left({\frac {b}{r}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\,;$

ajoutant ces deux équations membre à membre, et ayant égardl aux relations (10), il viendra

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{r'^{2}}}+{\frac {1}{B}}-{\frac {1}{B'}}\,;$

c’est-à-dire, en réduisant et ayant égard à la relation (12),