![{\displaystyle {\frac {1}{B}}=f(2e+f),\qquad {\frac {1}{B'}}=f'(2e+f').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5eb98d7de9f7f07052b5e643801ab2e779dae3)
Si nous substituons ces valeurs dans les équations des deux courbes, en y changeant
en
pour transporter l’origine au foyer commun négatif, elles deviendront
![{\displaystyle {\frac {(x-e)^{2}}{(e+f)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{f(2e+f)}}=1,\qquad {\frac {(x-e)^{2}}{(e+f')^{2}}}+{\frac {y^{2}}{f'(2e+f')}}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd4bc0d44c56398e0ea05589adc34c153b84706)
ou, en chassant les dénominateurs, développant, ordonnant et divisant par ![{\displaystyle e^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806b2751f62ef9c86ca80e8d3c662ae5dd4d1c2d)
![{\displaystyle {\frac {f}{e}}\left(2+{\frac {f}{e}}\right)x^{2}-2f\left(2+{\frac {f}{e}}\right)x+\left(1+{\frac {f}{e}}\right)^{2}y^{2}=f^{2}\left(2+{\frac {f}{e}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610c460d610d715b97c748425e4a764dda15c171)
![{\displaystyle {\frac {f'}{e}}\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)x^{2}-2f'\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)x+\left(1+{\frac {f'}{e}}\right)^{2}y^{2}=f^{2}\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e800d8a039ae47cc43a0db2eafba92d8c9da36)
Avec les mêmes données l’équation (13) du cercle décrit par le sommet de l’angle deviendra
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{e}}-2x={\frac {f^{2}+f'^{2}}{e}}+2(f+f').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e31c3a920cbff9f45b64d454b26377034205f2)
Si l’on suppose ensuite que
devient infini, les équations des deux courbes deviennent celles de deux paraboles données par les équations
![{\displaystyle y^{2}=4f(x+f),\qquad y^{2}=4f'(x+f')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304fddaeb2a7758b6b81a88215640a9d5b00841)
et celle du cercle devient
![{\displaystyle x=-(f+f')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e90fcaab12e614d0411f42995e90a4c0f9f04d9)
c’est-à-dire, celle d’une perpendiculaire à l’axe commun des deux courbes.