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${\frac {1}{B}}=f(2e+f),\qquad {\frac {1}{B'}}=f'(2e+f').$

Si nous substituons ces valeurs dans les équations des deux courbes, en y changeant $x$ en $x-e$ pour transporter l’origine au foyer commun négatif, elles deviendront

${\frac {(x-e)^{2}}{(e+f)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{f(2e+f)}}=1,\qquad {\frac {(x-e)^{2}}{(e+f')^{2}}}+{\frac {y^{2}}{f'(2e+f')}}=1\,;$

ou, en chassant les dénominateurs, développant, ordonnant et divisant par $e^{2}$

${\frac {f}{e}}\left(2+{\frac {f}{e}}\right)x^{2}-2f\left(2+{\frac {f}{e}}\right)x+\left(1+{\frac {f}{e}}\right)^{2}y^{2}=f^{2}\left(2+{\frac {f}{e}}\right)^{2}\,;$

${\frac {f'}{e}}\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)x^{2}-2f'\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)x+\left(1+{\frac {f'}{e}}\right)^{2}y^{2}=f^{2}\left(2+{\frac {f'}{e}}\right)^{2}.$

Avec les mêmes données l’équation (13) du cercle décrit par le sommet de l’angle deviendra

${\frac {x^{2}+y^{2}}{e}}-2x={\frac {f^{2}+f'^{2}}{e}}+2(f+f').$

Si l’on suppose ensuite que $e$ devient infini, les équations des deux courbes deviennent celles de deux paraboles données par les équations

$y^{2}=4f(x+f),\qquad y^{2}=4f'(x+f')\,;$

et celle du cercle devient

$x=-(f+f')\,;$

c’est-à-dire, celle d’une perpendiculaire à l’axe commun des deux courbes.