auront des points au-dehors de deux coniques ; les quatre autres seront entièrement comprises dans ces courbes.
Si, par exemple, on a une hyperbole et une ellipse qui la rencontrent en quatre points dont deux sur une branche et deux sur l’autre, les axes de syraptose seront les deux cordes qui joindront les points d’une même branche, parce que les prolongemens de ces cordes seront au-dehors des deux coniques. Chacune des quatre autres cordes, au contraire, joindra un point d’une branche à un point de l’autre branche, et aura tous ses points compris dans l’une ou dans l’autre courbe.
On voit clairement que les deux coniques n’ont aucune tangente commune ; car toute tangente à l’hyperbole passe entre ses deux branches et rencontre par conséquent l’ellipse qui est aussi comprise entre les deux branches, puisqu’elle les rencontre l’une et l’autre.
53. La distinction que nous venons d’établir entre les six cordes communes aux deux coniques, correspond à celle que nous avons faite (49) entre les six points de concours des quatre tangentes communes à deux coniques extérieures l’une à l’autre.
Elle est également une conséquence des deux théorèmes (17) et (19) (2.me colonne), d’après lesquels il faut, pour qu’une corde commune à deux coniques soit un axe de symptose, qu’on puisse mener, par des points de sa direction, des tangentes à l’une et à l’autre courbe.
54. Quand deux coniques ne se coupent qu’en deux points, elles n’ont qu’un système de deux axes de symptose.
Car, si elles avaient deux autres axes de symptose, ils passeraient par les deux points d’intersection des deux coniques et les couperaient en deux autres points ; les deux coniques auraient donc quatre points communs, ce qui est contre l’hypothèse.
55. Quand deux coniques n’ont ni points communs ni tangentes communes, elles ont un système d’axes de symptose et n’en ont qu’un seul.
Nous avons déjà dit (20) que les deux coniques ont toujours
