d’où on conclut sur-le-champ
ainsi, en supprimant un des polygones extérieurs, le nombre des polygones, augmenté du nombre des points servant de sommets et diminué du nombre de droites servant de côtés, demeurera constant ; il en sera donc de même si l’on enlève un second polygone extérieur, puis un troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait enfla amené le réseau à se réduire à un polygone unique.
Mais, dans ce dernier cas, on aura évidemment
donc, cette relation aura également lieu quel que puisse être le nombre des polygones qui composeront le réseau, c’est-à-dire que, dans un réseau de polygones contigus les uns aux autres, le nombre des polygones, augmenté du nombre des sommets, surpasse constamment d’une unité le nombre des droites. C’est le premier des deux théorèmes de M. Cauchy.
La forme de la démonstration de ce théorème prouve évidemment qu’il est applicable aux polygones plans, curvilignes et mixtilignes, comme aux polygones plans rectilignes, pourvu que l’on admette qu’aucun des premiers n’a moins de trois côtés, et il n’est pas moins évident qu’il serait encore vrai, sous la même restriction, pour un réseau de polygones curvilignes tracés sur une surface courbe quelconque.
Enfin, il sera vrai aussi pour un système de polygones recti-
