sait que, dans ces derniers temps, M. Cauchy a démontré, d’une manière beaucoup plus simple, un autre théorème dont celui d’Euler n’est qu’un cas particulier.
En suivant une marche un peu différente, M. le docteur J. A. Gruner, de Torgau, dans le II.me volume du précieux recueil de M. Crelle (pag. 367), est parvenu à démontrer le théorème d’Euler d’une manière plus simple encore, et, en suivant la marche tracée par l’auteur, on peut obtenir une démonstration non moins simple du théorème de M. Cauchy, et ramener ainsi toute cette théorie à être racontée, pour ainsi dire, dans une promenade, à quelqu’un même qui n’aurait aucune notion de géométrie, ainsi que nous allons le faire voir.
Remarquons d’abord que, si est le nombre des sommets d’un polygone ouvert, sera le nombre de ses côtés ; c’est-à-dire, que le nombre des côtés d’un polygone ouvert surpasse constamment d’une unité le nombre des sommets de ce polygone.
Soit présentement un système non interrompu, ou, en d’autres termes, un réseau de polygones contigus les uns aux autres et formant, par leur ensemble, un polygone unique, convexe ou non. Soient le nombre des figures partielles composant ce polygone total, le nombre des points qui leur servent de sommets et Je nombre des droites qui leur servent de côtés.
Concevons qu’on enlève un quelconque des polygones extérieurs sans toucher aucunement aux autres ; ceux-ci formeront un nouveau réseau. Désignons par le nombre des figures qui composent ce dernier, par le nombre des points qui lui servent de sommet et par le nombre des droites qui lui servent de côtés.
Il est évident que, pour passer du premier réseau au second, on n’aura eu autre chose à faire que de supprimer dans celui-là un certain polygone ouvert, et, qu’en représentant par le nombre de ses sommets, on aura
