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un réseau de polyèdres contigus les uns aux autres et formant, par leur ensemble, un polyèdre unique, convexe ou non. Soient $P$ le nombre de ces polyèdres, $F$ le nombre des plans leur servant de faces, $S$ le nombre des points leur servant de sommets et enfin $A$ le nombre des droites leur servant d’arêtes.

Concevons qu’on enlève un quelconque des polyèdres extérieurs, sans toucher aucunement aux autres ; ceux-ci formeront un nouveau réseau. Désignons par $P'$ le nombre des polyèdres de ce dernier réseau, par $F'$ le nombre des plans leur servant de faces, par $S'$ le nombre des points leur servant de sommets et par $A'$ le nombre des droites leur servant d’arêtes.

Il est évident que, pour passer du premier réseau au second, on n’aura autre chose à faire que de supprimer dans celui-là un certain polyèdre ouvert, et qu’en représentant par $f$ le nombre de ses faces, par $s$ le nombre de ses sommets intérieurs et par $a$ le nombre de ses arêtes intérieures, on aura, comme nous l’avons prouvé plus haut,

$f+s-a-1\,;\qquad$(1)

mais on aura aussi, d’un autre côté,

${\begin{aligned}&P'=P-1,\\&F'\,=F-f,\\&S'\ =S-s,\\&A'\ =A-a\,;\end{aligned}}$

d’où on conclura sur-le-champ, en ayant égard à la relation (1),

$F'+S'-A'-P'=F+S-A-P\,;$

ainsi, en supprimant un des polyèdres extérieurs, le nombre des faces, plus le nombre des sommets moins le nombre des arêtes,