moins encore le nombre des polyèdres, demeurera constant ; il en sera donc encore de même si l’on enlève un second polyèdre extérieur, puis un troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait enfin amené le réseau à se réduire à un polyèdre unique.
Mais, comme alors, en vertu du théorème d’Euler, on aura
et comme d’ailleurs on aura , on pourra écrire
donc cette relation ou son équivalente
aura également lieu, quel que soit le nombre des polyèdres dont le réseau sera composé ; c’est-à-dire que, dans un réseau de polyèdres contigus les uns aux autres, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpassa constamment d’une unité le nombre des arêtes augmenté du nombre des polyèdres. C’est le second théorème de M. Cauchy, que M. Grumer n’avait pas démontré.
En rapprochant ce qui précède des laborieuses recherches d’Euler, sur le même sujet, on se trouve ramené, comme dans tant d’autres cas, à cette réflexion, savoir : qu’il est bien rare qu’une théorie sorte sous sa forme la plus simple des mains de son premier auteur. Nous pensons qu’on sert peut-être plus encore la science en simplifiant, de la sorte, des théories déjà connues, qu’en l’enrichissant de théories nouvelles, et c’est là un sujet auquel ou ne saurait s’appliquer avec trop de soin.
On peut voir à la pag. 157 du xv.me volume du présent recueil, les nombreuses et piquantes conséquences qui résultent de ce théorème.
