se confondront en une seule, et cette longueur sera évidemment la moindre pour laquelle l’équilibre puisse être établi. Cette situation unique sera d’ailleurs telle que, si l’on tente de diminuer un peu la longueur de la partie intermédiaire du fil, au profit de celle des parties extrêmes, le système tendra à revenir dans la situation qu’on l’avait contraint d’abandonner ; tandis que si, au contraire, on tente d’allonger cette partie, aux dépens des deux autres, elle tendra à s’allonger davantage encore, jusqu’à ce que la fil échappe entièrement aux appuis. Ce sera donc là une situation d’équilibre mixte.
Toutes ces diverses considérations peuvent, au surplus, être littéralement appliquées à une pièce d’étoffe homogène, d’une largeur constante, que l’on voudrait soutenir sur deux bâtons rectilignes, fixés horizontalement dans des directions parallèles. On peut, en effet, considérer cette pièce d’étoffe comme une suite de chaînettes uniformément pesantes, posées les unes à côtés des autres, dans des plans verticaux parallèles.
II. Équation de la chaînette. Rapportons une chaînette, uniformémement pesante, à la tangente et à la normale en son point le plus bas, prises respectivement pour axes des et des . Soit pris pour unité de poids ce que pèserait une portion de cette chaînette égale en étendue à l’unité de longueur ; si alors exprime la longueur de l’arc de courbe compris depuis l’origine jusqu’à un quelconque de ses points, cette lettre représentera aussi le poids de cet arc ; et si et expriment respectivement les tensions qui ont lieu à l’origine et au point ces lettres exprimeront aussi les longueurs des portions de la même chaînette dont les poids pourraient faire équilibre à ces mêmes tensions.
Or, on sait, par les premiers principes de la statique, que la tension à chacune des extrémités d’une chaînette, est à son poids comme le sinus de l’angle que fait avec la verticale la tangente à
