son autre extrémité, est au sinus de l’angle des tangentes aux deux extrémités. On a donc cette double équation
![{\displaystyle {\frac {s}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}}={\frac {z}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}}=v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a5b8800f99a32edb2d1272e834e70152eea160)
d’où on conclut ces deux-ci,
![{\displaystyle z{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=s,\quad (1)\qquad v=z{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}.\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cad082438717f9f5ac5aea2fb28561de29b6ddd)
En différentiant la première, il vient
![{\displaystyle z{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171454be106d59433c1d758b05c2f194b59f14bc)
ou bien
![{\displaystyle z{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}}=\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ea5ffbcee83efeadcf1f0098fd0b6c914a80d9)
d’où, en intégrant,
![{\displaystyle z\operatorname {Log} .\left\{{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\right\}=x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3741514d116715f23729d79f19e8e1c90ea582f1)
nous n’ajoutons point de constante, parce que
et
doivent être nuls en même temps.
Cette intégrale revient à
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=e^{\frac {x}{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2b2c9a9613d35039e3888d187a04d89771f49b)