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$v'=v,$ et par l’équation (22), $s=-s'$ ; les équations (14), (17), (20) et (22) se réduiront alors à

$v+s=c,\qquad$(24)

$v^{2}-s^{2}=(v+s)(v-s)=c(v-s)=z^{2},\qquad$(25)

${\frac {v+s}{v-s}}=e^{\frac {2d}{z}}\,;\qquad$(26)

mettant dans cette dernière, pour $v+s$ et $v-s,$ leurs valeurs données par les deux précédentes, elle deviendra

$c^{2}=z^{2}.e^{\frac {2d}{z}}\,;$

d’où, par l’extraction de la racine quarrée,

$c=z.e^{\frac {d}{z}}.\qquad$(27)

Par le développement en fraction continue, oit par tout autre moyen analogue, on tirera de cette dernière, dans chaque cas particulier, la valeur de $z$, et on en conclura ensuite celles de $v$ et $s$, au moyen des équations (24) et (25).

Si l’on veut savoir, pour ce cas particulier, quel est le fil le plus court qui puisse résoudre le problème, il faudra égaler à zéro la différentielle de la valeur de $c$, prise par rapport à $z$, ce qui donnera

$0=(z-d).e^{\frac {d}{z}}\,;$

l’égalité à zéro du second facteur répondant au fil le plus long ; nous aurons simplement $z=d,$ d’où $c=e.d$ ; les équations (24) (25) donneront ensuite $v={\frac {e^{2}+1}{2e}}d,$ et $s={\frac {e^{2}-1}{2e}}d.$

Lyon, le 18 avril 1828.