et par l’équation (22),
; les équations (14), (17), (20) et (22) se réduiront alors à
![{\displaystyle v+s=c,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000cb9540eef5278fda6ede3ced8f50b6aae0c6a)
(24)
![{\displaystyle v^{2}-s^{2}=(v+s)(v-s)=c(v-s)=z^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee893591ba6a5dc8c8557dedbe7f10fea681920)
(25)
![{\displaystyle {\frac {v+s}{v-s}}=e^{\frac {2d}{z}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d772803534efaaa5186efd532cee330c6b640b0)
(26)
mettant dans cette dernière, pour
et
leurs valeurs données par les deux précédentes, elle deviendra
![{\displaystyle c^{2}=z^{2}.e^{\frac {2d}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11702f0312283891c8e6a26299b60dda0b0c0683)
d’où, par l’extraction de la racine quarrée,
![{\displaystyle c=z.e^{\frac {d}{z}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e6d6b2cdbd969cfd22222b440670e7851b168f)
(27)
Par le développement en fraction continue, oit par tout autre moyen analogue, on tirera de cette dernière, dans chaque cas particulier, la valeur de
, et on en conclura ensuite celles de
et
, au moyen des équations (24) et (25).
Si l’on veut savoir, pour ce cas particulier, quel est le fil le plus court qui puisse résoudre le problème, il faudra égaler à zéro la différentielle de la valeur de
, prise par rapport à
, ce qui donnera
![{\displaystyle 0=(z-d).e^{\frac {d}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473d6b03959693a037faafe0e7051386bdebe471)
l’égalité à zéro du second facteur répondant au fil le plus long ; nous aurons simplement
d’où
; les équations (24) (25) donneront ensuite
et ![{\displaystyle s={\frac {e^{2}-1}{2e}}d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922ab793f10db37ec9b9d0b622a508ca53a0b4f7)
Lyon, le 18 avril 1828.