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trique avec l’hyperbole, sa polaire réciproque sera un autre cercle qui lui sera concentrique ; et si, en outre, il a pour diamètres les axes de l’hyperbole, il sera lui-même sa polaire réciproque. Il est visible, en outre, que, réciproquement, la polaire réciproque de l’hyperbole, par rapport à ce cercle, sera une hyperbole qui aura le même centre, les mêmes sommets et les mêmes asymptotes, et qui, par suite, se confondra avec elle.

On peut prouver, plus généralement, que si, sur les mêmes diamètres conjugués, on décrit une ellipse et une hyperbole, chacune de ces deux courbes sera à elle-même sa polaire réciproque, par rapport à l’autre courbe prise pour directrice. En effet, les équations de ces deux courbes seront comprises dans la formule

$Ax'^{2}\pm By'^{2}=C,$

l’équation de la tangente à l’une d’elles, en un point $(x',y')$, sera

$Ax'x\pm By'y=C,$

et l’équation de la polaire, relative à l’autre, d’un point quelconque $(x'',y'')$ sera

$Ax''x\mp By''y=C\,;$

or, si l’on veut que cette polaire coïncide avec la tangente, il faudra prendre $x''=x',\ y''=-x',$ d’où $x''^{2}=x'^{2},\ y''^{2}=y'^{2}.$ Ainsi l’équation de la polaire réciproque sera

$Ax''^{2}\pm By''^{2}=C\,;$

c’est-à-dire, la même que celle de la courbe proposée.

Il résulte évidemment de là que, si deux paraboles de même paramètre, et tournées en sens inverse, se touchent de telle sotte que leurs axes soient parallèles, chacune d’elle sera à elle-même sa polaire réciproque, par rapport à l’autre, considérée comme directrice.