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GÉOMÉTRIE PURE.

Développement d’une série de théorèmes relatifs
aux sections coniques ;

Par M. J. Steiner.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Si, de l’un quelconque $\mathrm {P}$ des points du plan d’un triangle $\mathrm {ABC}$ (fig. 1), on abaisse, sur les directions de ses côtés $\mathrm {BC,CA,AB,}$ respectivement, les perpendiculaires $\mathrm {PA',PB',PC',}$ et qu’on joigne le même point à ses sommets par des droites, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {BA'}}^{2}-{\overline {CA'}}^{2}={\overline {BP}}^{2}-{\overline {CP}}^{2}} ,\\&\mathrm {{\overline {CB'}}^{2}-{\overline {AB'}}^{2}={\overline {CP}}^{2}-{\overline {AP}}^{2}} ,\\&\mathrm {{\overline {AC'}}^{2}-{\overline {BC'}}^{2}={\overline {AP}}^{2}-{\overline {BP}}^{2}} \,;\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant, réduisant et transposant,

$\mathrm {{\overline {AB'}}^{2}+{\overline {BC'}}^{2}+{\overline {CA'}}^{2}={\overline {BA'}}^{2}+{\overline {CB'}}^{2}+{\overline {AC'}}^{2}} \,;\qquad$^[1]

1. Pour un triangle sphérique, on aurait
   $Cos.\mathrm {AB} '.Cos.\mathrm {BC} '.Cos.\mathrm {CA} '=Cos.\mathrm {BA} '.Cos.\mathrm {CB} '.Cos.\mathrm {AC'} \,;$

   d’où on déduirait des conséquences analogues.