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3.

Soient menées les droites $\mathrm {B'C',C'A',A'B'}$ ainsi que $\mathrm {B''C''.}$ Les angles $\mathrm {AB'C'}$ et $\mathrm {AC''B''}$ qui ayant leurs sommets à la circonférence s’appuient sur le même arc $\mathrm {B''C'} ,$ sont égaux ; mais à cause des quadrilatères $\mathrm {B'PC'A} ,$$\mathrm {C''P'B''A}$ inscriptibles au cercle, ces angles sont respectivement égaux aux angles $\mathrm {APC'',AP'B''} \,;$ donc ces derniers sont aussi égaux entre eux. D’un autre côté, les angles $\mathrm {B'PC',B''P'C''} \,;$ supplémens d’un même angle $\mathrm {A} ,$ sont égaux entre eux ; donc, par soustraction, les angles $\mathrm {APB'}$ et $\mathrm {AB'C''}$ sont aussi égaux ; et il en doit être de même de leurs complémens $\mathrm {PAB'}$ et $\mathrm {P'AC''} \,;$ mais à cause du quadrilatère inscriptible au cercle, à $\mathrm {PAB'}$ on peut substituer son égal $\mathrm {PC'B'} \,;$ donc ce dernier est égal à $\mathrm {P'AC''} \,;$ puis donc que les côtés $\mathrm {C'P}$ et $\mathrm {AC''}$ de ces deux angles sont perpendiculaires l’un à l’autre, leurs côtés $\mathrm {C'B'}$ et $\mathrm {AP'}$ seront aussi perpendiculaires l’un à l’autre ; et il devra en être de même des droites $\mathrm {C'A',A'B'} ,$ comparées respectivement aux droites $\mathrm {P'B,P'C.}$

Soit $a$ le milieu de la corde $\mathrm {B'C'} ,$ la droite $\mathrm {O} a$ devra être perpendiculaire a $\mathrm {B'C'} ,$ et, par suite, parallèle à $\mathrm {P'A} .$ Pour les mêmes raisons si $b$ et $c$ sont les milieux respectifs de $\mathrm {C'A'}$ et $\mathrm {A'B'}$, les droites $\mathrm {O} b$ et $\mathrm {O} c$ seront respectivement perpendiculaires à celles-là.

On a donc ce théorème :

« Si, de l’un quelconque, des points du plan d’un triangle $\mathrm {ABC} ,$ on abaisse, sur les directions de ses côtés $\mathrm {BA,CA,AB} ,$ les perpendiculaires $\mathrm {PA',PB'} ,$$\mathrm {PC'}$, et si, des sommets du triangle, on abaisse, respectivement sur les directions des côtés $\mathrm {B'C',C'A',A'B'}$ du triangle $\mathrm {A'B'C'} ,$ d’autres perpendiculaires, ces trois dernières concourront en un même point $\mathrm {P} '$^[1]. En outre, si l’on

1. Ce théorème n’est qu’un cas particulier d’un autre que nous avons proposé de démontrer, sous le n.^o 54, dans le II.^e volume du Journal de M. Crelle (pag. 287) où on trouvera aussi ses analogues, sous les n.^os 55 et 56.