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rencontrant les directions des côtés respectivement opposés en $\mathrm {A',B',C',}$ la conique touchant les côtés du triangle en ces trois points sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que le point $\mathrm {P}$ sera intérieur au cercle circonscrit, extérieur à ce cercle ou sur sa circonférence, et vice versâ ».

Ce théorème est susceptible de généralisation et d’application diverses qui vont présentement nous occuper.

11.

Par une projection parallèle sur un plan quelconque, la figure dont les propriétés viennent de nous occuper se modifie comme il suit : 1.^o Le triangle équilatéral $\mathrm {ABC}$ devient un triangle d’espèce quelconque ;

2.^o Le cercle circonscrit devient la plus petite ellipse circonscrite au nouveau triangle, c’est-à-dire, celle dont le centre coïncide avec son centre de gravité, point de concours des droites qui joignent ses sommets aux milieux des côtés respectivement opposés ;

3.^o Les coniques touchant les trois côtés du triangle changent de forme, mais conservent leur caractère, c’est-à-dire, qu’elles demeurent ellipses, hyperboles ou paraboles, comme dans la figure projetée.

Réciproquement, tout triangle donné quelconque peut être considéré comme une projection parallèle d’un certain triangle équilatéral. En conséquence le théorème démontré (10) pourra être généralisé comme il suit :

« Si, par un quelconque $\mathrm {P}$ des points du plan d’un triangle quelconque $\mathrm {ABC}$ et par ses sommets, on mène des droites $\mathrm {AP,BP,CP,}$ rencontrant les directions des côtés respectivement opposés en $\mathrm {A',B',C'} ,$ la conique qui touchera les trois côtés du triangle en ces trois points sera une ellipse, une hyperbole ou parabole, suivant que le point $\mathrm {P}$ sera intérieur à la plus petite