Et, non seulement ces deux surfaces sont polaires réciproques l’une de l’autre, par rapport à la surface du second ordre dont ils’agit, mais leurs huit génératrices sont, chacune à chacune, polaires conjuguées ou réciproques, par rapport à cette même surface.
et qu’alors les équations des faces du tétraèdre circonscrit dont les points de contact étaient les sommets de l’inscrit étaient
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b\mathrm {C} +c\mathrm {B} +\alpha \mathrm {D} =0,\\&c\mathrm {A} +a\mathrm {C} +\beta \mathrm {D} =0,\\&a\mathrm {B} +b\mathrm {A} +\gamma \mathrm {D} =0,\\&\mathrm {\alpha A+\beta B+\gamma C} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b91b5e311f4141a738a746c799b5b532119107f)
On a vu, de plus, que les plans des faces respectivement opposées des deux tétraèdres se coupaient suivant quatre droites appartenant à une même surface du second ordre donnée par l’équation
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l}\alpha \beta \gamma D^{2}+\alpha (\beta b+\gamma c)A&D+(\alpha A+\beta B+\gamma C)(bcA+caB+abC),\\+\beta (\gamma c+\alpha a)B&\\+\gamma (\alpha a+\beta b)C&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d3cd8e8b933e42c03f2c545e8fe1440c1293db)
et que les droites joignant les sommets respectivement opposés appartenaient toutes quatre à une autre surface du second ordre ayant pour équation
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(\beta b-\gamma c)(\beta b+\gamma c-\alpha a)(aBC+\alpha AD)\\+&(\gamma c-\alpha a)(\gamma c+\alpha a-\beta b)(bCA+\beta BD)\\+&(\alpha a-\beta b)(\alpha a+\beta b-\gamma c)(cAB+\gamma CD)\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8822c458b2b88906d0f436655895025a4b83b2)
or, la première de ces deux équations est également satisfaite par chacun des quatre systèmes d’équations