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Démonstration. Chacune des deux parties du théorème est facile à démontrer directement ; mais, attendu qu’elles se déduisent l’une de l’autre par la théorie des polaires réciproques, nous nous bornerons à donner la démonstration de la première ; démonstration susceptible d’ailleurs d’une traduction pareille à celle de l’énoncé.

${\begin{array}{rr}{\frac {\mathrm {A} }{a}}+{\frac {\mathrm {B} }{b}}+{\frac {\mathrm {C} }{c}}=0,&\mathrm {D} =0,\\\\\mathrm {{\frac {B}{\gamma }}+{\frac {C}{\beta }}+{\frac {D}{\alpha }}} =0,&\mathrm {A} =0,\\\\\mathrm {{\frac {C}{\alpha }}+{\frac {A}{\gamma }}+{\frac {D}{b}}} =0,&\mathrm {B} =0,\\\\\mathrm {{\frac {A}{\beta }}+{\frac {B}{\alpha }}+{\frac {D}{c}}} =0,&\mathrm {C} =0,\end{array}}$

équations que l’on reconnaîtra facilement pour être celles des quatre génératrices du deuxième mode de génération de la seconde partie du théorème.

On s’assurera de même que l’autre équation du second degré est satisfaite par chacun des quatre systèmes d’équations

${\begin{array}{lll}(\beta b-\gamma c)\mathrm {A} +a(\beta \mathrm {B} -\gamma C)=0,&(\gamma c-\alpha a)B+b(\gamma C-\alpha A)=0,\\(\gamma c-\alpha a)\mathrm {A} +\beta (\gamma \mathrm {D} -a\mathrm {B} )=0,&(\alpha a-\beta b)\mathrm {B} +\gamma (\alpha \mathrm {D} -b\mathrm {C} )=0,\\(\alpha a-\beta b)\mathrm {A} +\gamma (a\mathrm {C} -\beta \mathrm {D} )=0,&(\beta b-\gamma c)\mathrm {B} +\alpha (b\mathrm {A} -\gamma \mathrm {D} )=0,\\\\(\alpha a-\beta b)\mathrm {C} +c(\alpha \mathrm {A} -\beta \mathrm {B} )=0,&(\beta b-\gamma c)\mathrm {D} +a(b\mathrm {C} -c\mathrm {B} )=0,&\\(\beta b-\gamma c)\mathrm {C} +\alpha (\beta \mathrm {D} -c\mathrm {A} )=0,&(\gamma c-\alpha a)\mathrm {D} +b(c\mathrm {A} -a\mathrm {C} )=0,&\\(\gamma c-\alpha a)\mathrm {C} +\beta (c\mathrm {B} -\alpha \mathrm {D} )=0,&(\alpha a-\beta b)\mathrm {D} +c(a\mathrm {B} -b\mathrm {A} )=0,&\end{array}}$

lesquelles sont celles des douze plans qui se coupent trois à trois suivant les quatre génératrices du deuxième mode de génération de la première partie du théorème.

J. D. G.