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Les théorèmes ci-dessus (4) ont leurs réciproques qui peuvent être énoncés comme il suit :

6. Si, par les sommets d’un tétraèdre, on mène quatre droites qui soient des génératrices d’un même mode de génération d’une surface du second ordre, ces droites perceront les plans des faces respectivement opposées en quatre points par lesquels on pourra faire passer une surface du second ordre inscrite au tétraèdre dont il s’agit.

6. Si, dans les plans des faces d’un tétraèdre, on trace quatre droites qui soient des génératrices d’un même mode de génération d’une surface du second ordre, ces droites avec les sommets respectivement opposés, détermineront quatre plans que pourra toucher une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre dont il s’agit.

Ces deux théorèmes pouvant être déduits l’un de l’autre par la théorie des polaires réciproques, il nous suffira de démontrer le premier.

Soient $\mathrm {A,B,C,D}$ les quatre sommets du tétraèdre ; puisque les droites menées par les trois premiers $\mathrm {A,B,C,}$ appartiennent à une surface du second ordre dont une génératrice du même mode de génération passe par le quatrième sommet $\mathrm {D,}$ on pourra, par ce dernier sommet, mener une génératrice du deuxième mode de génération, laquelle s’appuyera sur les trois droites conduites par les sommets $\mathrm {A,B,C} \,;$ donc, par les points où ces trois droites perceront les plans des faces opposées, on pourra (3) faire passer une infinité de surfaces du second ordre touchant ces plans en ces trois points ; l’une de ces surfaces pourra donc être choisie de manière à toucher aussi la quatrième face du tétraèdre ; et la droite qui joindra le point de contact au sommet $\mathrm {D,}$ qui lui est opposé, appartiendra (4) à la surface du second ordre déterminée par les trois premières droites ; ce sera donc précisément la quatrième droite ; le théorème est donc démontré.

Les propriétés des angles trièdres et des tétraèdres inscrits et