Les droites qui vont de trois sommets du tétraèdre circonscrit à leurs opposés respectifs dans l’inscrit sont dans trois plans qui se coupent (3) suivant une même droite, passant par le quatrième sommet ; la droite qui va de ce sommet à son opposé dans l’inscrit rencontre aussi cette droite ; donc les quatre droites qui joignent les sommets respectivement opposés dans les deux tétraèdres s’appuyent sur quatre autres droites partant de ces mêmes sommets ; ce qui prouve qu’elles appartiennent à une surface du second ordre y donc ces quatre autres droites sont des génératrices du deuxième mode de génération.
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Les quatre droites qui joignent les sommets respectivement opposés, dans les deux tétraèdres, étant des génératrices d’un même mode de génération d’une surface au second ordre, on en peut déduire les conséquences suivantes : |
Les quatre droites suivant lesquelles se coupent les plans des faces opposées, dans les deux tétraèdres, étant des génératrices d’un même mode de génération d’une surface du second ordre, on en peut déduire les conséquences suivantes : | |||
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5. Si deux de ces quatre droites concourent en un même point, les deux autres devront concourir en un autre point ; et, si trois d’entre elles concourent en un même point, la quatrième devra aussi passer par ce point. |
5. Si deux de ces quatre droites sont situées dans un même plan, les deux autres devront aussi être situées dans un autre plan ; et, si trois d’entre elles sont dans un même plan, la quatrième devra aussi être dans ce plan. |
Ces dispositions sont en effet les seules qui puissent permettre alors de mener, par chacun des points de l’une quelconque des quatre droites, une droite qui s’appuye à la fois sur les trois autres. Dans ces circonstances particulières, la surface du second ordre, lieu de ces quatre droites, se trouve remplacée par deux plans ou par un plan unique. On doit aussi remarquer que, quand les quatre dernières droites sont dans un même plan, les quatre premières concourent en un même point, pôle de ce plan.
