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THÉORÈME. Les points de contact des trois côtés d’un triangle avec deux lignes quelconques du second ordre qui lui sont inscrites, appartiennent tous six à une troisième ligne du second ordre.

THÉORÈME. Les tangentes menées, par les trois sommets d’un triangle, à deux lignes quelconques du second ordre qui lui sont circonscrites, touchent toutes six une troisième ligne du second ordre.

§. II.

5. Des précédens théorèmes on en déduit aisément d’autres analogues, relatifs aux surfaces du second ordre comparées au tétraèdre.

Soit $\mathrm {ABCD}$ un tétraèdre quelconque. Par un point quelconque $\mathrm {P}$ de l’espace et par chacune de ses arêtes concevons des plans coupant les arêtes respectivement opposées. Soient $a,b,c$ les points où les arêtes $\mathrm {BC,CA,AB,}$ sont respectivement coupées par les plans $\mathrm {APD,BPD,CPD} ,$ et soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ ceux où les arêtes opposées $\mathrm {AD,BD,CD,}$ sont respectivement coupées par les plans $\mathrm {BPC,CPA,APB,}$ nos six plans se couperont deux à deux suivant les trois droites $a\alpha ,b\beta ,c\gamma \,;$ il est visible, en outre

que les droites$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {B\gamma ,C\beta ,Da} \\&\mathrm {C\alpha ,A\gamma ,Db} \\&\mathrm {A\beta ,B\alpha ,Dc} \\&\mathrm {A} a,\mathrm {B} b,\mathrm {C} c\end{aligned}}\right\}$se couperont en un même point $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A} '\\&\mathrm {B} '\\&\mathrm {C} '\\&\mathrm {D} '\end{aligned}}\right\}\,;$

et que les droites $\mathrm {AA',BB',CC',DD'}$ se couperont toutes quatre au point $\mathrm {P.}$

Il est aisé de voir que, réciproquement, six points $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma$ étant pris respectivement sur les arêtes $\mathrm {BC,CA,AB,AD,BD,CD}$ d’un tétraèdre $\mathrm {ABCD} ,$ de telle sorte