Et ces deux surfaces seront polaires réciproques l’une de l’autre, relativement à celle que touchent les douze arêtes des deux tétraèdres.
Si l’on suppose, dans le théorème (15), que la surface directrice se réduit à une conique, on en conclura celui-ci :
20. Une conique et un tétraèdre existant ensemble dans l’espace, les droites qui joignent les sommets du tétraèdre avec les pôles des droites suivant lesquelles le plan de cette conique coupe les plans des faces respectivement opposées, sont quatre génératrices d’un même mode de génération d’une même surface du second ordre.
Si l’un des axes de la conique devient nul, elle se réduit à une droite d’une longueur limitée, et le théorème se change dans celui qui suit :
21. Une transversale perçant les plans des quatre faces d’un tétraèdre ; et deux points fixes étant pris arbitrairement sur cette transversale ; si l’on joint par une droite chaque sommet du tétraèdre avec le point de cette transversale, quatrième harmonique, aux deux points fixes et à celui où elle perce le plan de la face opposée, on obtiendra ainsi quatre génératrices d’un même mode de génération d’une surface du second ordre.
Si l’un des points fixes était à l’infini, on aurait une autre proposition que nous nous dispenserons d’énoncer.
Si la surface directrice du théorème (15) est une surface conique, on obtiendra le théorème suivant :
22. Les plans diamétraux d’une surface conique du second ordre, conjugués aux droites qui joignent son sommet aux quatre sommets d’un tétraèdre, coupent les plans des faces respectivement opposées suivant quatre génératrices d’un même mode de génération d’une surface du second ordre.
Ce théorème aurait pu être déduit de celui qui le précède (20), au moyen d’une transformation polaire. Il n’est, au surplus, qu’un cas particulier du théorème (17).
