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gle et les prolongemens des deux autres au-delà des extrémités de celui là. Quant aux trois dernières ce sont des angles respectivement, opposés à ceux du triangle.

Comme trois conditions sont nécessaires pour déterminer un cercle, ce n’est que dans les quatre premières régions que l’on peut se proposer d’inscrire des cercles. L’un de ces cercles sera intérieur au triangle ; c’est proprement le cercle inscrit, dont nous désignerous le rayon par $r\,;$ les trois autres seront ce que M. Lhuilier a appelé les cercles ex-inscrits ; nous désignerons respectivement leurs rayons par $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ suivant les côtés du triangle sur lesquels ils s’appuyeront. On démontre aisément que ces quatre cercles sont touchés à la fois par celui que l’on fait passer par les milieux des côtés du triangle.

Soit $T$ l’aire du triangle ; en considérant les triangles qui ayant pour bases les trois côtés $a,b,c$ du triangle donné et pour sommets les centres des quatre cercles, on a

$\left.{\begin{aligned}&2T=r(a+b+c),\\&2T=\alpha (b+c-a),\\&2T=\beta (c+a-b),\\&2T=\gamma (a+b-c).\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

En prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $-\alpha \beta \gamma ,+\beta \gamma r,+\gamma \alpha r,+\alpha \beta r,$ il vient, en divisant $2T,$

$\alpha \beta \gamma =r(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta ),$

ou bien

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\,;\qquad$(2)