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c’est-à-dire, l’inverse du rayon du cercle inscrit à un triangle est égal à la somme des inverses des rayons des trois cercles ex-inscrits au même triangle^[1].

Ou, en d’autres termes, le parallélépipède rectangle, construit sur les rayons des trois cercles ex-inscrits, est équivalent à la somme des trois parallélipipèdes rectangles construits sur ces mêmes rayons pris deux à deux et sur le rayon du cercle inscrit.

Au moyen de la relation (2) le rayon de chacun des quatre cercles se trouve déterminé par les rayons des trois autres.

Si le triangle est équilatéral, on a

$\alpha =\beta =\gamma =3r=h,$

$h$ étant la hauteur du triangle.

II. En observant que

$16T^{2}=(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c),$

le produit des équations (1) donne, en réduisant

$T^{2}=\alpha \beta \gamma r,\qquad$(3)

d’où

$T={\sqrt {\alpha \beta \gamma }}\,;$

c’est-à-dire, l’aire d’un triangle est égal à la racine carrée du produit des rayons des quatre cercles qui touchent à la fois ses trois côtés. Théorème publié pour la première fois par Mahieu, et

1. Il y a plusieurs mois que ce théorème nous a été adressé, avec plusieurs autres, par M. Bobillier, dans une note que le défaut d’espace nous a empêché jusqu’ici de publier.
   J. D. G.