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$abc={\frac {(\alpha -r)(\beta -r)(\gamma -r)}{r^{2}}}.T.\qquad$(7)

Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit ; on sait que

$R={\frac {abc}{4T}}\,;$

donc (7)

$R={\frac {(\alpha -r)(\beta -r)(\gamma -r)}{4r^{2}}},\qquad$(8)

En diminuant $r$ de cette valeur, au moyen de la relation (2), on trouvera

$R={\frac {(\beta +\gamma )(\gamma +\alpha )(\alpha +\beta )}{4(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )}}\quad$^[1]. $\qquad$(9)

1. D’après les équations (5) on peut écrire
   $abc=T^{3}\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\beta }}\right)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\gamma }}\right)$

   ou bien, en développant et ordonnant,

   $abc=T^{3}\left\{{\frac {1}{r^{3}}}-\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right){\frac {1}{r^{2}}}+\left({\frac {1}{\beta \gamma }}+{\frac {1}{\gamma \alpha }}+{\frac {1}{\alpha \beta }}\right){\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\alpha \beta \gamma }}\right\}.$

   Au moyen de la relation (2), les deux premiers termes de ce développement disparaissent, et l’on a simplement