Si, de la même valeur, on élimine successivement
au moyen de la même relation, on trouvera
![{\displaystyle R={\frac {(\beta -r)(\gamma -r)(\beta +\gamma )}{4(\beta \gamma -\beta r-\gamma r)}}={\frac {(\gamma -r)(\alpha -r)(\gamma +\alpha )}{4(\gamma \alpha -\gamma r-\alpha r)}}={\frac {(\alpha -r)(\beta -r)(\alpha +\beta )}{4(\alpha \beta -\alpha r-\beta r)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de600ddb83e5d2cf8742a7a2a43ccefe4a0531ce)
(10)
III. Si le triangle est supposé rectangle, en désignant par
l’hypothénuse, on aura
au moyen de quoi les équations (1) deviendront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\alpha ={\frac {ab}{b+c-a}},\\\\&\beta ={\frac {ab}{c+a-b}},\\\\&\gamma ={\frac {ab}{a+b-c}},\\\\&r={\frac {ab}{a+b+c}}.\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5601fd781083f8ed49f5697ffb4fe23ce06eb94c)
(11)
![{\displaystyle abc=T\left({\frac {T^{2}}{\beta \gamma r}}+{\frac {T^{2}}{\gamma \alpha r}}+{\frac {T^{2}}{\alpha \beta r}}-{\frac {T^{2}}{\alpha \beta \gamma }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1d4ab70d644e37517809a5f3f0ff8b153284ba)
ou bien (3)
![{\displaystyle abc=T(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5691290d059dcb4e61e8128eaf5e08203f4a54)
d’où enfin
![{\displaystyle R={\frac {1}{4}}(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86c365115c52310efdcc0bca8e9cd2987942e45)
c’est-à-dire, le rayon du cercle circonscrit à un triangle est le quart de l’excès de la somme des rayons des trois cercles ex-inscrits à ce triangle sur le rayon du cercle inscrit. Cet élégant théorème appartient à M. Bobillier.
J. D. G.