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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si, de la même valeur, on élimine successivement $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ au moyen de la même relation, on trouvera

$R={\frac {(\beta -r)(\gamma -r)(\beta +\gamma )}{4(\beta \gamma -\beta r-\gamma r)}}={\frac {(\gamma -r)(\alpha -r)(\gamma +\alpha )}{4(\gamma \alpha -\gamma r-\alpha r)}}={\frac {(\alpha -r)(\beta -r)(\alpha +\beta )}{4(\alpha \beta -\alpha r-\beta r)}}$ (10)

III. Si le triangle est supposé rectangle, en désignant par $c$ l’hypothénuse, on aura $2T=ab,$ au moyen de quoi les équations (1) deviendront

$\left.{\begin{aligned}&\alpha ={\frac {ab}{b+c-a}},\\\\&\beta ={\frac {ab}{c+a-b}},\\\\&\gamma ={\frac {ab}{a+b-c}},\\\\&r={\frac {ab}{a+b+c}}.\end{aligned}}\right\}\quad$(11)

$abc=T\left({\frac {T^{2}}{\beta \gamma r}}+{\frac {T^{2}}{\gamma \alpha r}}+{\frac {T^{2}}{\alpha \beta r}}-{\frac {T^{2}}{\alpha \beta \gamma }}\right)\,;$

ou bien (3)

$abc=T(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;$

d’où enfin

$R={\frac {1}{4}}(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;$

c’est-à-dire, le rayon du cercle circonscrit à un triangle est le quart de l’excès de la somme des rayons des trois cercles ex-inscrits à ce triangle sur le rayon du cercle inscrit. Cet élégant théorème appartient à M. Bobillier.

J. D. G.