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Il ne saurait donc y avoir plus de huit sphères, une inscrite et sept ex-inscrites qui touchent à la fois les quatre faces d’un tétraèdre, considérées comme des plans indéfinis, et ces dernières se divisent en deux classes, savoir : quatre sphères ex-inscrites aux faces, et les trois autres ex-inscrites aux arêtes.

Soit $r$ le rayon de la sphère inscrite ; soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ les rayons des quatre sphères respectivement ex-inscrites sur les faces $a,b,c,d$; soient $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les rayons des sphères ex-inscrites respectivement sur les arêtes $ad$ ou $bc,\ bd$ ou $ca,\ cd$ ou $ab\,;$ soit enfin $T$ le volume du tétraèdre.

En considérant les tétraèdres ayant leur sommet commun aux centres de ces différentes sphères et pour bases les faces du tétraèdre $T,$ on trouvera aisément

${\begin{array}{lr}3T=r(a+b+c+d),&(1)\\3T=\alpha (b+c+d-a),&(2)\\3T=\beta (c+d+a-b),&(3)\\3T=\gamma (d+a+b-c),&(4)\\3T=\delta (a+b+c-d),&(5)\\3T=\pm \alpha '(b+c-a-d),&(6)\\3T=\pm \beta '(c+a-b-d),&(7)\\3T=\pm \gamma '(a+b-c-d)\,;&(8)\end{array}}$